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第二百五十四章 偶然的发现


  第二百五十四章

  跨校课题项目已经开题半个月。

  这半个月时间,无论是罗宇所在课题小组,还是包梓所在的课题小组,均取得不错的进展。

  尤其是包梓这边。

  在关于变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题上取得了数项重大突破。

  在包梓桌上有一本文件。

  里面详细的记录了包梓在研究自守L-函数傅里叶系数均值问题的过程中,目前取得的一系列进展。

  顾律简单的扫了一眼,接着满意的点点头。

  总的来说,包梓这边的进度,是比顾律预想中的要快上一些的。

  顾律本以为,半个月左右的时间,包梓这边达成10%的进度就算不错了。

  但现在看来,这个估计还是有些保守了。

  在针对课题中关于傅里叶系数均值问题的研究,包梓这边的进度差不多是15%。

  按照这个效率继续下去,不需要半年,大概只需要四个月左右的时间,包梓这边就能完工。

  顾律还不清楚金陵大学罗宇那边的研究进度,无法进行比较。

  但包梓这边的研究进度,绝对不能称得上是慢。

  顾律就这样一边翻着桌上的文件,一边等着包梓回来。

  十几分钟后。

  “老师,我回来了!”

  人未到,声先至。

  听到声音后抬头,顾律正好看到包梓蹦蹦跳跳的走进来,手里拎着一个打包袋。

  打包袋装着几个大包子,想必是包梓的早餐。

  包梓扬了扬手中的打包袋,“老师,吃包子吗?牛肉馅的。”

  顾律笑着摆摆手,“不了,早饭我已经吃过了。”

  包梓拉过一把椅子坐在顾律旁边,一个包子被啊呜一口咬掉一小半,一边吃着一边含糊不清的开口,“老师,现在可以给我指导我遇到的那个难题了吧。”

  “你确定是现在吗?”顾律指了指包梓手中未吃完的大包子。

  包梓点点头,“这样节省时间。”

  “那你说吧。”

  在顾律的授意下,包梓谈起她在前几天课题研究中遇到的一个难题。

  包梓研究的是变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题。

  按照课题框架中制定的研究计划。

  针对该问题,需要建立两个变量为n的函数,分别来表示Maass尖形式和全纯尖形式的傅里叶系数。

  接着,利用Dirichlet有理逼近定理和Chauchy不等式,得出T(-a;x)在主区间上的估计,以及S1(a,√2)在余区间上的估计。

  包梓就是卡在这一步上。

  简单来说,包梓没有想通,如何利用Maass尖形式和全纯尖形式的傅里叶系数,精准的得出T(-a;x)在主区间上的估计,还有S1(a,√2)在余区间上的估计。

  “这样啊……”

  顾律摸着下巴,了解的点点头。

  包梓说的没错,这个地方,确实该课题的难点之一。

  一旦处理不好,很容易前功尽弃。

  不过,这对顾律来说,并不算什么难题。

  说完,包梓啊呜一口咬了口包子,舒服的眯着眼,一副很满足的样子。

  “唔,想了一晚上,一点头绪都没有,很难受。”

  包梓含含糊糊的说了一句,但脸上不见丝毫烦恼的样子。

  “老师,这个难题,难不倒你对不对?”包梓眼睛亮晶晶的盯着顾律。

  顾律点点头。

  包梓笑嘻嘻的开口,“那就麻烦老师解惑了。”

  顾律无奈一笑,从桌面上随便拿了一张空白的草稿纸。

  从笔筒里抽出一根粉丝的碳素笔,沉吟几秒后,顾律在纸上写下六个大字。

  “球内整点问题?”包梓轻咦一声。

  顾律淡淡一笑,开口说道,“没错,就是球内整点问题。”

  球内整点问题,其全称是球内整点的素数分布问题。

  这是解析数论领域较为知名的一个问题。

  不过,该问题尚未内彻底解决。

  但,球内整点问题虽未被彻底解决,但不妨碍数学家们使用其相关的知识解决其它数学问题。

  就比如说,眼前这个问题。

  目前包梓遇到的这个问题,利用球内整点问题进行求解并非是唯一的方案。

  但比较过几种方案后,顾律认为这是最简单的方案。

  而包梓这边,经过顾律这么一提醒,瞬间恍然大悟。

  与球内整点问题相关的知识很多。

  但和该课题研究内容相关联的知识,就那么一个。

  那是在上个世纪九十年代,由两位华国数学家使用三元二次型,在球内整点问题的基础上提出的一个公式:

  πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)

  当然,这个公式成立的先决条件,是A>0。

  公式并不复杂,但是球内整点问题的几大研究成果之一。

  因为其揭露了球内整点一部分素数分布问题。

  虽然隐隐猜到了什么,但包梓并非很确定,于是探寻的目光望向顾律。

  顾律不再卖关子。

  唰唰几下在纸上写下一行公式。

  πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)

  这个公式,正是包梓猜想的那样。

  不过包梓没有贸然开口,而是等着顾律的下文。

  顾律将公式中‘C3’和‘I3’重重圈起来,开口解释道,“这两个符号,C3代表球内整点问题中的奇异级数,I3代表奇异积分,我们可以先这样……”

  “……在上述前提的基础上,由公式πΛ(x):=(省略)可以得到公式π3(x)=12C3I3∫t^0.5/logtdt+O(x^1.5log^(-A)x)。”

  顾律讲述的速度很快,但旁边的包梓却很轻松的可以跟上顾律的速度,没有丝毫压力。

  甚至,还可以抽空吃几口包子。

  顾律的思路包梓明白了大半。

  简单来说,就是利用三元二次型的球内整点问题公式,得出奇异级数以及奇异积分。

  再在奇异级数和奇异积分的基础上,得出了除数函数有关的均值问题公式。

  果然,顾律讲的最后一步,就是除数问题均值问题的推导。

  “……最后,我们可以在前面这五个公式的基础上,推导出一个与除数函数有关的均值问题公式,即……”

  由于并没有事先准备,这个公式,顾律是当场先算的。

  脑子里简单过了一遍后,顾律便在纸上写下最终这个公式。

  S(x):=∑(1≤m1,m2,m3≤x)d(m1^2+m2^2+m3^2)=8ζ(3)/5ζ(4)x^3logx+O(x^3).

  “嘶,这个公式……”

  当该公式的全貌呈现在顾律面前时,似乎是想到了什么,顾律的瞳孔猛地一缩。

  


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